Разработка дидактических материалов по теме «Решение задач с параметрами»

Муниципальное образование город Краснодар

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

муниципального образования город Краснодар

средняя общеобразовательная школа № 47 г. Краснодар

РАЗРАБОТКА ДИДАКТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ПО ТЕМЕ

«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ»

подготовила

учитель математики

Чепрасова Анна Валериевна

г. Краснодар
2014

Под задачами с параметрами понимаются задачи, в которых ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, численные значения которых не заданы конкретно, но считаются известными; эти величины называются параметрами. Задачи такого типа для школьников являются наиболее сложными. Поэтому прежде, чем приступать к решению задач с параметрами, важно, чтобы учащиеся видели, что является параметром в том или ином случае. Для этого целесообразно сначала решить следующие задания:

1. 1) Дано уравнение с параметром a. Напишите уравнение, которое получится при:

а) a = 2; б) a = – 4; в) a = 0; г) a = ; д) a = .

2) Дано уравнение с параметром x. Напишите уравнение, которое получится при:

а) x = 3; б) x = — 1,5; в) x = ; г) x = 0; д) x = — 20.

2. 1) Является ли линейным относительно x уравнение при:

а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b = 5?

2) В каких из указанных случаев уравнение не является линейным относительно y:

а) при m = 6; б) при m = 0; в) при m = 5; г) при m = — 0,5.

3. Какие случаи следует выделить при решении уравнения с параметром c:

а) ; б) ?

4. Решите уравнение относительно x:

а) ; б) ; в) .

5. При каких значениях параметра d уравнение :

а) имеет единственный корень; б) не имеет корней;

в) имеет бесконечное множество корней?

С понятием параметра, по существу, встречаются уже в седьмом классе при изучении линейных уравнений и линейной функции. А значит, и знакомить учащихся с параметрами полезно при изучении линейных уравнений. Это надо делать для того, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и в старших классах при более детальном изучении задач с параметрами испытывали меньше затруднений. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют память и внимание.

При изучении линейных уравнений можно предложить следующие задания:

1. Решите уравнение относительно x:

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

а) ax = 1; а) ;

б) 3cx = 4; б) ;

в) b + 5x = — 7; в) ;

г) — 0,6m – 0,2x = 0; г) ;

д) ; д) ;

е) 2(b + 3)x = 9; е) ;

ж) ; ж) ;

з) ; з) ;

и) ; и) ;

к) ; к) ;

л) ; л) ;

м) ; м) ;

н) ; н) ;

о) ; о) .

2. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

а) ; а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

г) . г) .

2. Указать, при каких значениях параметра уравнения имеют бесконечно много корней:

ВАРИАНТ 1. ВАРИАНТ 2.

а) ; а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

г) . г) .

2. 1) При каком значении параметра a уравнение имеет корень, равный 8?

2) При каком значении параметра b уравнение имеет корень, рав-

ный 12?

2. 1) При каком значении параметра с уравнения и имеют равные корни?

2) При каком значении параметра b уравнения и имеют равные корни?

При изучении темы «Линейная функция и ее график» также можно рассмотреть задания, содержащие параметры.

1. 1) При каком значении параметра c прямая проходит через точку A(-2; 9)?

2) При каком значении параметра d прямая проходит через точку B(5; — 6)?

2. 1) При каком значении параметра n прямая проходит через точку C(-1; 5)?

2) При каком значении параметра b прямая проходит через точку M(-4; 1)?

3. 1) При каком значении параметра a прямые и пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

2) При каком значении параметра b прямые и пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

4. 1) Графики функций и пересекаются в точке с абсциссой, равной –8 . Найдите ординату точки пересечения.

2) Графики функций и пересекаются в точке с абсциссой, равной –2. Найдите ординату точки пересечения.

5. 1) Графики функций и пересекаются в точке с ординатой, равной 4. Найдите абсциссу точки пересечения.

2) Графики функций пересекаются в точке с ординатой,

равной 13. Найдите абсциссу точки пересечения.

6. 1) Графики функций и симметричны относительно оси абсцисс.

а) Найдите b и k.

б) Найдите точку пересечения этих графиков.

2) Графики функций и симметричны относительно оси

ординат.

а) Найдите b и k.

б) Найдите точку пересечения этих графиков.

Задания, содержащие параметры, можно предложить и при решении систем линейных уравнений.

1. 1) При каких значениях параметра a система

,

:

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение?

2) При каких значениях параметра система

,

:

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение.

2. При каких значениях параметра a системы не имеют решений?

а) , б) , в) ,

; ; ;

г) , д) ,

; .

3. При каких значениях параметра a системы имеют бесконечно много решений?

а) , б) , в) ,

; ; ;

г) , д) ,

; .

4. Решите систему уравнений относительно x и y:

а) , б) , в) , г) ,

; ; ; ;

д) , е) , ж) , з) ,

; ; ; ;

и) , к) , л) ,

; ; .

Продолжить рассмотрение задач с параметрами следует при изучении квадратного трехчлена , т. е. при решении квадратных и дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, в ходе решения которых составляются такие уравнения. При этом очень важно хорошо знать не только формулы корней квадратного трехчлена, но и теорему Виета: корни и квадратного трехчлена удовлетворяют соотношениям:

,

.

Если – единственный корень, то в теореме Виета следует положить . Тогда , . Верно и обратное утверждение: если числа таковы, что выполнены написанные выше соотношения, то и являются корнями квадратного трехчлена . Очень важны при решении задач следствия из теоремы Виета.

СЛЕДСТВИЕ 1. Для того, чтобы квадратный трехчлен имел корни одного знака, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия D > 0, > 0.

При этом оба корня положительны, если дополнительно выполнено условие < 0, и отрицательны, если < 0.

СЛЕДСТВИЕ 2. Для того чтобы квадратный трехчлен имел два корня разных знаков, необходимо и достаточно выполнение условий D > 0, < 0.

1. При каких значениях c уравнения

а) ; б) ; в) ; г) ;

д); е) ;

ж)

не имеют корней? (Для ответа на вопрос задачи достаточно решить неравенство D < 0 относительно c).

2. При каких значениях параметра d уравнения имеют один корень?

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е); ж).

(Для ответа на вопрос задачи достаточно решить уравнение D = 0 относительно d).

3. При каких значениях параметра a уравнения имеют два различных корня?

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е).

(Для ответа на вопрос задачи достаточно решить неравенство D >0 относительно a).

4. При каких значениях параметра k оба корня квадратного уравнения положительны?

5. Определите значение параметра n, при котором оба корня уравнения отрицательны?

6. Решите относительно x уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

7. Решите относительно y уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д).

При решении задач с параметрами возникают различные уравнения, но в этих случаях приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи. Иногда границы, в которых заключены значения параметра, приходится устанавливать, проводя дополнительные исследования. Следующие задачи решить в целых числах.

1. За два дня вспахано 80 га, причем в первый день вспахано на a га больше, чем во второй день. Сколько гектаров земли вспахано во второй день?

2. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из них короче другой в n раз. Найти длину каждой части, зная, что их длины выражаются целым числом метров. (45м и 90м; 27м и 108м; 15м и 120м; 9м и 126м; 5м и 130м; 3м и 132м; 1м и 134м).

3. Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно против течения – за 3 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки m км/ч. (5m км/ч).

4. Купили n м ткани двух сортов по цене 2 р. за метр и 3 р. за метр. За всю покупку заплатили 22р. Сколько метров ткани каждого сорта купили, если ?

(5 м и 4м).

5. Двое рабочих изготовили вместе 74 детали. Первый изготовлял в день на s деталей больше второго и работал 7 дней, а второй – 8 дней. Сколько деталей в день изготовлял каждый рабочий? (6 деталей и 4 детали).

6. В трех корзинах 54 кг яблок. В первой корзине на 12 кг яблок меньше, чем во второй, а в третьей – в n раз больше, чем в первой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине? (1, 13, 40; 2, 14, 38; 3, 15, 36; 6, 18, 30; 7, 19, 28).

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Один из катетов на k см больше другого. Найти катеты прямоугольного треугольника. (5см и 12см).

8. Турист прошел 3 км по шоссе и s км – по проселочной дороге, затратив на весь путь 2ч. По шоссе он шел со скоростью на 2 км/ч большей, чем по проселку. С какой скоростью шел турист по проселку? (1 км/ч; 4 км/ч).

О Т В Е Т Ы.

Понятие параметра. 1. 1) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

2) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.1) а) нет; б) да; в)нет; г) да.

2. в случаях а) и б).

3. а) c = 0; c  0; б) c = 0; c = 4; c  0 и c  4.

4. а) , a  0; корней нет, a = 0; б) x = 1, a  0; бесконечно много

корней, a = 0; в) x = 3, a  0; бесконечно много корней, a = 0.

а) при d  0 и d  — 10; б) при d = 0; в) d = — 10.

Решение линейных ВАРИАНТ 1.

уравнений. 1. а) a  0; ж) ;

корней нет, a = 0; з) , a  0;

б) , c 0; корней нет, a = 0;

корней нет, c = 0; и) , a  -1;

в) ; корней нет, a = — 1;

г) ; к) , d  8;

д) , a  0; корней нет, d = 8;

корней нет, a = 0; л) , a  0;

е) , b  — 3; корней нет, a = 0, b  0;

корней нет, b = — 3; бесконечно много корней, a = 0; b = 0;

м) , b  0;

корней нет, b = 0, a  1;

бесконечно много корней, b = 0, a = 1;

н) , b  0;

корней нет, b = 0, a  3;

бесконечно много корней, b = 0, a = 3;

о) .

2. а) ; б) ; в) ; г) .

3. а) ; б) ; в) ; г) нет.

4. 1) при a = 3,5; 2) при b = 4,5.

5.1) при с = -2,5; 2) при b = .

Линейная функция 1. 1) –6; 2) –2. 2. 1) 8; 2) 29. 3. 1) 4; 2) – 4.

и ее график. 4. 1) — 13; 2) – 2. 5. 1) 0,8; 2) 1. 6. 1) b = 4, k = 2. 2) b = -6, k = — 4.

Решение систем 1. 1) а) 4; б) при a  4. 2) а) – 2; б) при b  — 2. 2. а) 0; б) – 12;

линейных уравнений. в) –3 и 2; г) –2 и – 4; д) –1 и 1. 3. а) 1; б) 3; в) 3; г) –3; д) 0.

4. а) , б) a  , при a

; ; корней нет;

в) ; при b = 1,6 корней нет.

Список использованной литературы.

1. Сборник развивающих задач с решениями по математике для 5-6 классов. / В.К. Совайленко, О.В. Лебедева. – Ростов-на-Дону:Легион, 2005. 256с.

2. Текстовые задачи: Пособие для учащихся. / А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 1997. – 112с.

3. Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое пособие с электронным приложением / Л.И. Горохова и др. – М.: Издательство «Глобус», 2009. – 266 с.

4. Алгебра. Тесты для промежуточной аттестации. 7-8 класс. Издание третье, переработанное и дополненное. Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 224 с.

5. Чулков П. В. и др. Алгебра. Тесты. 7-9 класс – М.: «Издат-Школа», 1998. – 192 с.

6. Алгебра. 7 – 9 классы. Тесты для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская ; под ред. А. Г. Мордковича. – 8-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 119 с. : ил.

7. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса.-М.:Илекса, — 2005, — 192 с.

8. Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА- 2012. Алгебра, геометрия, теория вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие/Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 314 с. – (ГИА-9)

9. Математика. Приложение к газете «Первое сентября».