Конспект урока по Алгебре «КВМ» по квадратным уравнениям» 8 класс

«КВМ» по квадратным уравнениям

Урок-КВМ расчитан на 2 урока

Цели:

Образовательные :  повторение различных способов решения квадратных уравнений, проверка умений верно и рационально решать квадратные уравнения, повторение квадратных корней и их свойств. 

Развивающие: способствовать формированию умений обобщать, сравнивать, выделять главное, развивать математический кругозор, мышление, внимание и память.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике.

Методическое обеспечение: электронная доска, ноутбук,медиапроектор, высказывание на плакате, ромашка, лепестки ромашки с уравнениями, карточки с уравнениями.

План урока:

1.Представление команд и жюри.

2.Устная разминка команд.

• вычислить

• конкурс теоретиков

• конкурс на лучшего вычислителя.

3.Конкурс » Ромашка»

4. Работа по карточкам

5..Конкурс «Изюминка»

6.Подведение итогов.

7.Рефлексия.

Ход урока:

1.Представление команд.

1команда- «уравнения»

2команда-«корни»

3 команда-«дискриминант»

2.Устная разминка команд.

а) Вычислить

На электронной доске представлены задания командам. К доске выходят по одному представителю команды , решают задания и выбирают из предложенных ответов верные.

1команда 2 команда 3 команда

Варианты ответов:

2,1; 4 ; a² 1,2; 2 ; 1b² 0,8; 3; 1с²⁵

2,01; — ; 2 a² 1,02; — ; 2b² 0,08; — ; 1c²

б)Конкурс теоретиков -задать командам по 2 вопроса (выполняется одновременно с заданием а).Вопросы на электронной доске.

1 команда

1.Дать определение квадратного уравнения..

2.В каком случае квадратное уравнение не имеет корней.

2 команда

1.Сформулировать теорему Виета.

2. В каком случае квадратное уравнение имеет два корня.

3 команда

1.Записать формулу дискриминанта и корней квадратного уравнения.

3.В каком случае квадратное уравнение имеет один корень.

в) Конкурс на лучшего вычислителя.

На доске записан пример, который команды решают вместе за своим столом.

(+ )*

3.Конкурс «Ромашка»

На доске ромашка из 8 лепестков. На каждом лепестке приведенное квадратное уравнение. Каждому члену команды раздаю по одному лепестку .Необходимо решить все восемь уравнений по теореме Виета и найти сумму всех найденных корней., должно получится число, записанное на обратной стороне сердцевины.

Уравнения:

1) x²-7x+12=0 x=3;4.

2) x²+18x+32=0 x=-16;-2.

3 )x²-5x-14=0 x=-2;7.

4) x²+5x+6=0 x=-3;-2.

5) x²-8x+12=0 x=2;6.

6) x²-12x+11=0 x=1;11.

7) x²-7x+10=0 x=5;2.

8) x²+2x-8=0 x=-4;2.

3+4-16-2-2+7-3-2+2+6+1+11+5+2-4+2=14

4.Работа по карточкам под лозунгом «Дорогу осилит идущий, а математику- мыслящий»

Всем членам команды раздаются карточки с квадратным уравнением, которое надо решить. Жюри проверяет уравнения.

Уравнения:

1)2x²-16x=0 (8;0) 10) 2x²+16x=0 (-8;0)

2)5x²-50x=0 (10;0) 11) x²-12x+27=0 (9;3)

3)x²-4x-32=0 (8;-4) 12) 2x²-6x-56=0 (7;-4)

4) x²+12x+32=0 (-8;-4) 13) x²+9x+20=0 (-5;-4)

5)x²+11x-26=0 (-13;2) 14) x²+8x=0 (-8;0)

6) 5x²-40x=0 (8;0) 15) x²-14x+40=0 (4;10)

7) x²-11x+24=0 (8;3) 16) 3x²-18x+15=0 (1;5)

8) 4x²-12x-40=0 (-2;5) 17) 4x²-24x+32=0 (2;4)

9) 2x²+13x-24=0 (-8;15) 18)x²-3x+2,25=0 (1,5;1,5).

5.Конкурс «Изюминка»-другие способы решения квадратных уравнений.

Команды рассказывают о других способах решения квадратных уравнений.

Показывают свои презентации ( темы озвучиваются зараннее).

1) Графическое решение квадратное уравнения

Если в уравнении х² + рх + q =

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х² = — рх — q.

Построим графики зависимостей у = х² и у = — рх — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис. 1).

Возможны следующие случаи:

—  прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

—  прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры:

1. Решим графически уравнение х² — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4.

Построим параболу у = x² и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М(0; 4) и N(3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4.

2) Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения

рис.1

ах² + вх + с = 0

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(х1;0) и D(x2;0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + вх +с =0,
и проходит через точки А(0; 1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB•OD = OA•ОС, откуда

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АС и BD, поэтому

Итак: 1) построим точки (центр окружности) и А(0; 1);

2)проведем окружность с радиусом SA;

3)абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра окружность пересекает ось ОХ в точке В(х1;0), и D(x1; 0), где х1 и х2 —корни квадратного уравнения ах²+bx+c= 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра , окружность касается оси Ох в точке В(х1;0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 3), в этом случае уравнение не имеет решения.

рис.2. рис.3.

3) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры:

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни

z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z² — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z² — 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения z² — 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t² — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда

z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

6.Подведение итогов.

Жюри объявляет счет. Итоги КВМ. Награждение участников.

7.Рефлексия.

Что понравилось, что не понравилось.