Конспект урока по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса» для 9-11 классов

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

Конспект урока

по теме

«Системы линейных уравнений.

Метод Гаусса»

Предмет: алгебра

Контингент: 9 – 11 класс

Тип урока: урок — лекция

Автор:

Макарова Татьяна Павловна,

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618

г. Москвы

Конспект урока по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса»

Автор:

Макарова Татьяна Павловна,

учитель математики

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

Цели урока:

1. Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Задачи урока:

1. Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

2. Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

3. Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

4. Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.

Тип урока: урок – лекция

Методы и педагогические приёмы:
• словесный метод;
• наглядный метод;
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя;
• методы контроля (устный, письменный);
• методы самоконтроля и взаимоконтроля;
• дифференцированная работа.

Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа

Оборудование: раздаточный материал

Контингент: 9-11 классы

Ход урока

I. Организационный момент (приветствие учащихся).

II. Актуализация.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Фронтальный опрос:

1. Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).

2. Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.

III. Основная часть.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

(1)

Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй — номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного — неопределенной.

При помощи элементарных преобразований сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x₁. Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x₂ и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

(2)

Если в полученной системе (2) в последнем уравнении свободный член не равен нулю, а коэффициент в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого — либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Пример 1. Найти решения системы уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец будет стоять из коэффициентов, находящихся при переменной х₁, второй столбец — соответственно из коэффициентов при х₂, третий столбец — из коэффициентов при х₃, четвертый столбец расширенной матрицы — из свободных членов.

Расширенная матрица коэффициентов исходной системы (A/b) сводится к треугольной матрице (A’/b’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/b) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная система, соответствующая матрице (A’/b’) имеет вид:

Откуда единственное решение системы находится следующим образом: x₃= –1;из второго уравнения x₂=1+x₃=0;из первого уравнения x₁=–3+3x₂ – 4x₃=1.

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решение.

Последней строке матрицы (A’/b’) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Ответ: решений нет.

III. Закрепление пройденного материала. Работа в группах.

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Номер группы

Закрепление пройденного материала. Самостоятельная работа.

Вариант 1

IV. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Выбери вариант соответствующий твоим ощущениям после сегодняшнего занятия.
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим!
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому.
3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу.
4. У меня остались некоторые вопросы.

V. Домашняя работа.
Решить системы уравнений методом Гаусса:

Ответ: бесконечное множество решений.

.

VI. Список использованной литературы

1 . https://www.mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/

3. https://mathserfer.com/theory/pyartli1/node54.html