Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функции. Задачи В-8

Государственное общеобразовательное учреждение

Гимназия №205

Урок по теме

« Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функции. Задачи В-8»

Учитель: Коровашкова А.Д.

2012 уч.год

Открытый урок по теме

« Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функции. Задачи В-8»

Цель урока

Формировать навыки решения задач по теме «Производная» при решении прототипов В-8

Подготовка учащихся к сдаче экзамена в формате ЕГЭ.

Задачи

Образовательные

• Актуализировать и обобщить теоретические знания по данной теме.

• Ознакомить учащихся с содержанием типовых заданий В-8.

• Учить выстраивать шаги решения, конструировать способ решения на основе имеющихся знаний.

• Составить таблицу, опорные схемы для решения В-8.

Развивающие

• Развивать умения анализировать вопрос задания и сделать вывод.

• Развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с заданиями ЕГЭ.

• Развитие логического мышления ,внимания, навыки самоконтроля.

Воспитательные

• Воспитывать волю и настойчивость в достижении поставленной цели .

• Воспитание сознательного отношения к обучению

• Развитие коммуникативной культуры при работе в группе, доброжелательного отношения.

Тип урока: систематизации и обобщения.

Урок с элементами «технологии полного усвоения знаний» .

Материалы и оборудовани.: компьютерная презентация, раздаточный материал.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная , групповая.

Методы: наглядный, словесный, графический, условно-символический.

План урока:

1.Орг момент

2.Актуализация знаний учащихся, необходимых для решения задач из материалов ЕГЭ.

3.Сообщение темы урока и цели.

4.Составление таблицы (опорный конспект)

5.Основная часть: формирование знаний ,умений и навыков.

6.Первичное закрепление – работа в группе.

7.Тест (проверка знаний учащихся)

8.Рефлексия

9.Подведение итогов

10.Домашнее задание.

1 Организационный момент

Сегодня у нас немножко необычный урок, тему нашего урока вы попробуете определить сами, посмотрев несколько слайдов, на них вы должны узнать известные понятия. Из этих слов надо будет составить тему урока.

2этап.

Внимание на экран.

Учащиеся отгадывают : какое и известное им понятие изображено на слайде .

1 слайд

Несколько шуточные математические стишки для того чтобы вам легче было войти в урок.

1слайд загадка Учащиеся должны отгадать слово – производная

На следующем слайде – приводится определение этого понятия

2 слайд – Что изображено на слайде . Какие ассоциации у вас возникают —Как это связано м предыдущем слайдом. изображена схема –геометрического смысла производной..

3–диаграмма выполнений заданий ЕГЭ части В за 2010и 2011 года. На ней выделены задания В-8,связанные со свойствам функции и графикам.

Повторите все отгаданные вами слова и сформулируйте тему нашего урока

Учащиеся должны сформулировать тему урока.

На слайде изображены портреты великих математиков. (Основоположники математического анализа И. Ньютон Г. Лейбниц) независимо друг от друга разработали основные элементы дифференциального исчисления.

Слайд. Ребята вы знаете, чьи это портреты Какое отношение они могут иметь к теме урока? ( ответ учащихся)

Как вы думаете в связи с нашей темой – что будет являться целью урока

Цели урока на слайде

3 этап.

Задания на применение производной в материалах ЕГЭ требуют повторение теоретических знаний

Геометрический смысл производной связан с касательной – а это прямая . Запишем как они связаны между собой и какие теоретические знания надо знать, чтобы успешно решать задания В8. А для этого мы составим опорный конспект « применение производной к исследованию функции»- таблицу соответствия свойств функции и производной.

Фронтальная работа с классом .Учащиеся заполняют пропуски с комментированием. Проверка с помощью презентации.

Итог 3 этапа ….. Итак мы составили с вами таблицу соответствия некоторых свойств функции и производной, которую будем сейчас использовать.

4 этап. Рассмотрим несколько задач из прототипов В-8 открытого банка заданий ЕГЭ .Проанализируем условие ,выберем определения и формулы, которые нам понадобятся для их решения .Сконструируем способ решения и запишем его в виде алгоритма.

Учащиеся работают в специально выданных таблицах. В таблице имеется специальная графа для самоанализа (ощущения осмысленности задания )

Вопросы к слайду задание №1

Найти значение производной в точке хо.

-Какие теоретические факты из нашего опорного конспекта нам нужны.

-Какие понятия будем использовать, чтобы дать ответ на поставленный вопрос.

— Как по-другому можно сформулировать вопрос задачи.

-Что для этого надо знать?

-Какие дополнительные построения нужно выполнить

-Какую фигуру рассмотреть. Почему?

-Что нужно найти?

-Чему равно значение производной в точке?

Вспомните, какие вопросы я задавала, и составьте алгоритм..

Составляем способ решения.( возможно кто-то из учеников проговаривает, учитель поправляет).

Алгоритм:

Ищу угол – продлеваем касательную и ось ОХ обозначаем угол –а.

Рассмотрим треугольник с углом — а или равным ему.

По геометрическому смыслу имеем производную в т хо =тангенсу угла

Из треугольника находим значение тангенса.( у:х)

Записываем ответ – как в бланк ЕГЭ.

Возможен другой способ решения .

Касательная задается уравнением У=кх+в, применяем геометрический смысл производной. Решим задачу алгебраическим .

Прямая проходит через 2 точки. Найдем координаты двух выделенных точек и подставим их в уравнение.

Составим систему и решим ее, найдем К . Это и будет ответ .

Задание №2 Найти значение производной в точке Хо ( на рис. Тупой угол )

Чем задание отличается от предыдущего?

Учащиеся могут сами попробовать составить алгоритм .

Обратить внимание на то, что угол наклона тупой,а значит К меньше 0(число отрицательное ); будем искать угол смежный с данным .

Также можно решить задачу алгебраическим способом.

Задание №3 На рис. Изображен график функции. Найти количество точек, в которых производная равна 0 .

— в чем заключается геометрический смысл.

Т.к. производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной то…( значит тангенс равен 0. т.е угол равен 0)

-Как располагается касательная —( она параллельна оси Ох).т.е. горизонтально.

— как на графике функции это можно распознать -смотри таблицу ( геометрическая интерпретация)

Алгоритм

— считаем количество точек с горизонтальной касательной (включая перегиб).

Задание № 4 На рисунке изображен график функции . Найдите количество точек ,в которых касательная параллельна прямой у=18.

— Как выглядит эта прямая? как расположена.

— Если прямые параллельны, то у них ( можно посмотреть в таблицу)- угловые коэффициенты равны .

-У оси Ох чему равен угловой коэффициент ?

-У прямой у=18 чему равен угловой коэффициент

— Какой вывод можно сделать ?

— Чем похожа эта задачу на предыдущую?

А значит решение такое же.

Т.к. Прямая у=18 параллельна оси ох, то можно в качестве инструмента подсчета точек использовать линейку или ровный лист бумаги. Двигаясь сверху вниз, считаем точки с горизонтальной касательной.

Задание №5 На рисунке изображен график движения точки по прямой .

Сколько раз за указанный период точка останавливалась

-Т. К. перед нами график прямолинейного движения, то задача приобретает физический смысл

Вопрос классу

— В чем заключается физический смысл производной.?

Значение производной в точке будет мгновенной скоростью .т.е

Точка, в которой производная равна 0 , соответственно точкой остановкой.

Задача сводится к предыдущим

Алгоритм : считаем точки с горизонтальной касательной.

«Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем» -Альберт Энштейн.

Итак мы рассмотрели несколько задач и составили алгоритм. Теперь вы будете работать самостоятельно

5 этап Самостоятельная работа в группах. Первичное закрепление. Отработка навыка. Решения аналогичных задач: 6.7.8 Вы можете работать в группах

. Ваша задача разобраться с этими заданиями . Если вы справитесь и у вас останется время ,то задания 9.и 10 повышенного уровня для вас. У кого вопрос, можно воспользоваться консультацией учителя.

Задания 6.7.8

Учитель имеет возможность консультировать учащихся, и проверять решение.

Если учащиеся не справились с каким то прототипом, то можно предложить им аналогичные задания

Если учащиеся успешно справились с заданиями , то можно выполнить задания 9и 10. ( с точкой перегиба и острым экстремумом)

Проверка самостоятельной работы осуществляется с помощью слайдов.

Итог Рефлексия Что понятно. Что нет.

6 этап Тест ( контролирующего плана ) ( первые три ученика получают «5»в журнал.

Учащимся предлагаются аналогичные задания 4 слайда

Самопроверка зашифровано имя известного математика Коши

Слайд историческая справка.

Итог урока Если вы справились с заданиями теста – то можете поставить себе отлично и я вас поздравляю.

Наш урок подходит концу, как вы думаете мы достигли цели .которую перед собой поставили в начале урока. Что еще не получилось ?

Рефлексия карточка на ней учащиеся пусть напишут № тех заданий .которые вызвали затруднения .Если все нормально .то поставьте просто +.

Действуйте и домашнее задание один из путей к цели , в дома еще раз разберитесь с этими заданиями .Посмотрите по своей отметке в таблице какие задания вызывают у вас затруднения , и выполните их еще раз .

«Деятельность –единственный путь к познанию»Б. Шоу.

Урок завершен. Спасибо за работу. Всего вам доброго.