Конспект урока по Математике «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии» 9 класс

Открытый урок в 9 классе МБОУСОШ станицы Терской.

Учитель Яшина Н.П.

Тема урока: «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии».

Цель урока:

-дать представление о геометрической прогрессии и вывести формулу n-го члена ГП;

-формировать умение применять данную формулу при решении задач;

-воспитывать ответственное отношение к своим поступкам, продумывать их последствия;

— вырабатывать умение составлять план и последовательность действий для достижения цели, владеть монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами родного языка.

Оборудование: проектор, компьютерная презентация, учебник.

Тип урока: освоение нового материала.

Метод обучения: деятельностный, проблемный, частично-поисковый.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная.

План урока.

1.Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности (организационный момент).

2.Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в проблемном действии (повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания»).

2.1 Повторение изученного материала

а) фронтальная работа с классом

б) решение задачи №614 (устно)

2.2 Проблемная ситуация

2.3 Закрепление полученных знаний.

3. Выявление места и причины затруднения в новой проблемной ситуации.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

5. Первичное закрепление

а) во внешней речи

б) закрепление материала в процессе решения задачи

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

7. Включение нового материала в систему знаний.

8. Задача для любознательных.

9. Рефлексия деятельности (итог урока)

10. Домашнее задание.

Развёрнутый конспект урока.

Слайд 1. (Урок алгебры в 9 классе)

Ход урока.

1.Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности (организационный момент).

Слайд 2. Здравствуйте, ребята. Цель нашего урока, как и любого другого я бы определила в виде формулы трёх П: Познакомиться. Понять. Применять.

Если в конце урока мы сможем сказать, что познакомились с новой темой, поняли её и научились применять полученные знания на практике, значит, наша цель будет достигнута.

2.Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в проблемном действии (повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания»).

2.1 Повторение изученного материала

а) фронтальная работа с классом

Прежде, чем приступить к изучению нового материала, повторим предыдущую тему. Итак, как называется тема, над которой мы работали на предыдущих уроках? (Арифметическая прогрессия)

Слайд 3. –Дайте определение арифметической прогрессии.

—Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

—А как называется это одно и то же число? (Разность арифметической прогрессии)

Докажите, что представленные последовательности чисел являются арифметическими прогрессиями . (На слайде появляются три числовые последовательности, дети отвечают)

-А какое свойство этих последовательностей не только доказывает, что это прогрессии, но и объясняет их название – арифметические прогрессии? (Каждый член этих последовательностей равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов)

Учащиеся доказывают сказанное примером.

Примерный ответ ученика с использованием формулы ПОПС:

П (позиция) Я думаю, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.

О (обоснование) Каждый её член равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

П (пример).Например: 12 – это среднее арифметическое чисел 9 и 15 : (9+15)/2=12.

С (следствие)Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Слайд 4.- Определите, какие из этих рисунков иллюстрируют арифметическую прогрессию, укажите разность каждой прогрессии.

-Что можно вычислить, зная только первый член прогрессии и её разность (n –ый член прогрессии и сумму n первых членов прогрессии). Назовите эти формулы.

Слайд 5. С именем какого математика связывают формулу суммы n первых членов АП? (Карла Гаусса, немецкого математика, которого впоследствии называли королём математики).

Слайд 6.

а)Повторяем формулу n-го члена АП и формулу суммы нескольких первых членов.

б) Решение задачи №614 (устно) с использованием второй формулы суммы n первых членов АП.

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если тело достигло её дна через 5с после начала движения

Решение .

2.2 Проблемная ситуация.

Слайд 7.

Ещё раз обратимся к рисункам. Найдите рисунок, иллюстрирующий арифметическую прогрессию. Докажите. Рассмотрим другие рисунки и выясним, как изменяется каждый последующий член относительно предыдущего. Иллюстрируют ли эти рисунки какую-то последовательность, или это случайный набор чисел? (Да). Какую? (Дети могут сказать, что это последовательность геометрическая, т.к. прочитали об этом в учебнике).- Да, верно, но почему эта последовательность называется геометрической , а не, скажем, алгебраической или тригонометрической? Обоснуйте свой ответ по формуле ПОПС.

Слайд 8. (Дети должны сказать, что каждый член этой последовательности равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов).

Итак, как мы можем определить тему нашего урока? (Геометрическая прогрессия). Попробуем дать определение геометрической прогрессии , опираясь на определение арифметической прогрессии.

(Все вместе дети формулируют определение)

Геометрической последовательностью называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

-Вспомните, как называется это одно и то же число в арифметической прогрессии. (Разность АП). А в ГП это одно и то же число называется знаменателем ГП. Он обозначается латинской буквой q

Определите разность ГП на этих рисунках.

Слайд 9.

-А теперь сравним две прогрессии по этой схеме. (Объясняем, что у обеих прогрессий можно назвать первый и любой последующий член, в АП- разность, в ГП – знаменатель, числа, которые показывают, как изменяется последующий член по сравнению с предыдущим).

2.3 Закрепление полученных сведений. Решить устно №623 а,б.

3. Выявление места и причины затруднения в новой проблемной ситуации.

Предлагаю решить такую старинную задачу.

Слайд 10.

Один мужик на рынке заключил с купцом договор на месяц. Мужик предложил купцу, что будет приносить ему каждый день по 100 рублей, а купец при этом должен будет в 1-ый день дать ему 1 копейку, во второй- 2коп., в 3-ий – 4коп. и так каждый день удваивать сумму взноса. Образованный купец пришёл домой и всё рассказал жене. Жена сожалела о том, что договор заключён только на месяц.

-Какой вопрос мы могли бы поставить в этой задаче?

-Итак, сколько же денег по договору даст купец мужику в первый день спора? Во 2-ой? В 3-ий? Что представляет собой изменение этой суммы? (Сумма растёт в геометрической прогрессии)

-Можете ли вы мне дать ответ в течении минуты, сколько денег должен дать купец на, предположим, 11-ый день спора? (Нет, не хватит времени). А как можно посчитать быстрее? Каких знаний нам не хватает, чтобы ответить на этот вопрос? (Нужно знать формулу n-го члена ГП) Вот это и будет продолжением нашей темы. Записываем в тетрадь со справочными материалами.

Слайд 11.

Тема: «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена ГП»

4. Построение проекта выхода из затруднения.

-Какие у вас идеи? Если бы мы не знали, сколько денег купец даст в 1-ый день, могли бы мы узнать что-то про 2-ой, 3-ий день? (Нет). Значит, нам нужно знать 1-ый член ГП, т.е. b₁. Что ещё мы должны знать? (Как должна изменяться сумма, т.е., знаменатель ГП —q).

Дети записывают в тетрадь, один ученик делает вывод формулы у доски.

Дано: b₁, q

Найти: b_n

b₂=b₁*q; b₃= b₂*q= b₁*q*q= b₁q²; b₄= b₃*q= b₁q²*q= b₁q³

……………………………………………………………………………………………………………………………

Формула в общем виде: b_n=b₁*q^n-1

Итак, мы вывели формулу n-го члена ГП. Используя её, скажите формулу для 5-го, 11-го, 31-го члена ГП.

Сравните её с формулой n-го члена АП.

Если в формуле n-го члена АП сложение заменить умножением, а умножение возведением в степень, то мы получим формулу n-го члена ГП.

5.Первичное закрепление

а) во внешней речи

Переведите эту формулу с языка математики на русский язык, т.е., скажите её словами. Проговорим формулу хором, повторите её друг другу в парах.

б) Закрепление материала в процессе решения задачи.

-Теперь, используя формулу, мы сможем посчитать, сколько денег даст купец мужику на 11-й день договора.

Решим эту задачу.

Дано:

b₁=1; q=2

Найти: b₁₁

Решение.

b₁₁=b₁*q¹⁰; b₁₁=1*2¹⁰=1*1024=1024=10руб.24коп.

Ответ:10руб.24коп.

Конечно, нам интереснее узнать, кто выиграет в этом споре. Предлагаю вам дома посчитать, сколько денег должен отдать купец мужику на 31 день договора, а сколько всего он будет должен мужику, это уже тема следующих уроков.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Слайд 14.

Решить самостоятельно №625а,б, проверить по эталону. Разбирается характер ошибок.

Слайд 15, 16

7. Включение нового материала в систему знаний.

Решить с комментированием у доски № 627б, 630а.

8. Задача для любознательных.

Прочитайте задачу и попробуйте дать ответ

• Некогда был пруд, в центре которого рос один лист лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда была заполнена листьями лилий. Сколько понадобилось дней, чтобы заполнить лилиями половину пруда?

• (5дней, 9 дней, 8 дней)

9. Рефлексия деятельности (итог урока)

-Что узнали на этом уроке? Удалось ли нам реализовать поставленную цель? Оцените по 5-бальной системе своё участие в уроке.

10. Домашнее задание.

• На «3»: № 627, 628.

• На «4»: № 627, 628, 630.

• На «5»: № 627, 628, 630, 631.

• Удачи вам, ребята!

• Спасибо за урок!