Конспект урока по Математике «Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена геометрической прогрессии» 9 класс

Тема урока:

«Определение геометрической прогрессии.

Формула п-го члена геометрической прогрессии»

Класс:9б

Дата урока:10.02.2014

Цель урока: познакомить учащихся с понятием геометрической прогрессии, формулой

n-ого члена геометрической прогрессии.

Задачи урока:

— образовательная: обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии», «формулы n-го члена»; организовать деятельность учащихся по воспроизведению изученного материала и упражнениям в его применении по образцу; сформировать у учащихся умение находить знаменатель и n-ый член геометрической прогрессии.

— развивающая: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, применять приемы сравнения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию логического мышления, творческих способностей учащихся путем решения межпредметных (физика, биология, экономика) задач.

— воспитательная: побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности. Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодняшний урок я начну словами А.С. Пушкина:

Слайд 1

«О сколько нам открытий чудных …

Готовит просвещенья дух,

И опыт – сын ошибок трудных,

И гений – парадоксов друг»

Сегодня на уроке мы продолжим изучать числовые последовательности, и вы сможете самостоятельно сделать по-настоящему чудные открытия в данной области. Итак, начнем.

Запишите число, классная работа.

2.Актуализация опорных знаний учащихся.

Как я уже сказала, мы продолжаем изучать числовые последовательности, и вот вам первое задание.

Задание 1 Слайд 2

Даны последовательности, найдите закономерности, по которым они составлены, и задайте их формулой. (Работа в парах, проверка на доске)

Числовая последовательность

Какие из этих последовательностей можно объединить по общему свойству?

(арифметическая прогрессия)

Мы с вами изучили эту последовательность подробно. Давайте вспомним все, что мы про нее знаем. Не забывайте вести конспект. (Фронтальная работа)

Слайд 3

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

2. Назовите рекуррентную формулу, задающую арифметическую прогрессию. Что такое d?

3. Как найти разность арифметической прогрессии? Слайд 4

4. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Слайд 5

5. Как найти сумму n— первых членов арифметической прогрессии? Слайд 6

Молодцы, хорошо знаете теоретический материал на арифметическую прогрессию.

Продолжим Слайд 7

Задание 2

Даны последовательности, найдите в каждой последовательности 5-й и 6-й члены, найдите закономерности, по которым они составлены, и задайте формулой вид зависимости.

Числовая последовательность

Найдите 21-й член последовательности.

Вы смогли выполнить задание? Ученик: не все, только в первом случае. Слайд 8

А почему?

В чем затруднение? Слайд 9

Чем числовые последовательности во 2, 3, и 4 примерах отличаются от числовой последовательности из 1 примера?

(Закрыть облаком пример №1)

3. Объяснение нового материала

Что объединяет оставшиеся числовые последовательности?

Дети формулируют правило: каждый член последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Ребята, такие числовые последовательности называют геометрическими прогрессиями.

Итак, какой будет тема нашего урока?

Ученики: «Геометрическая прогрессия» Слайд 10

Запишите тему урока в тетради «Определение геометрической прогрессии»

Ребята, давайте договоримся, что члены геометрической прогрессии мы будем обозначать b_n, чтобы их не путать с арифметической, хотя это все условности. Слайд 11

b₁,b₂,b₃,…b_n,…- геометрическая прогрессия

Так какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

(Ученики формулируют определение).

Запишите это определение себе в тетрадь.

Постоянное число, на которое умножают, обозначим буквой q, это знаменатель геометрической прогрессии. Внимание: q не равно 0.

А теперь составьте рекуррентную формулу, вытекающую из определения геометрической прогрессии. Слайд 12

Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Как вы думаете, члены геометрической прогрессии могут равняться нулю?

4.Закрепление.

Итак, мы «открыли» определение геометрической прогрессии, записали рекуррентную формулу, давайте применим эти новые знания на практике.

Задание 1 (устно) Слайд 13

Выбрать из списка числовых последовательностей геометрическую прогрессию, назвать ее первый член и разность геометрической прогрессии.

1, 3, 9, 27, 81 …

32, 16, 8, 4, 2…

-10, -12, -14, -16, -18… — арифметическая прогрессия!

1/25, -1/5, 1, -5, 25…

Следующее задание вы выполняете самостоятельно парами.

Задание 2 (проверка на доске) Слайд 14

Пользуясь определением геометрической прогрессии, запишите первые пять ее членов, если

b₁= 11 q=2 Ответ: 11,22,44,88,176

b₁=1 q=-3 Ответ: 1, -3, 9, -27, 81

b₁= 100 q=1/10 Ответ: 100, 10, 1, 1/10, 1/100

Давайте проверим, какие получились результаты.

Задания 3

Задача о шахматах

Ребята, в книге книге Перельмана Я. И. «Живая математика», есть легенда о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, — сказал царь…

— Повелитель, — сказал Сета, — прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

— Довольно, — с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения доброты своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель, — был ответ, — приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен…

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоем деле, — объявил Шерам, — я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, — ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

— Как бы велико оно ни было, — надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания… »

Выведем формулу n— го члена геометрической прогрессии (желающий у доски)

b_n=b₁q^n-1 Слайд 16

Запишите в конспект эту формулу.

Вернемся к нашей задаче.

На 64 поле получится 9 223 372 036 854 775 808 (9 квинтильонов 223 квадрильона 372 триллиона 36 биллионов 854 миллиона 775 тысяч 808 ) Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику, и Антарктиду, и получить богатый урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться с просителем. Так стоило ли принцу смеяться? Слайд 17

Задание 4. Решить пример «отложенный»

Ребята, наверное, настал момент решить один из примеров, с которым мы не могли справиться ранее. Слайд 18

1, 2, 4, 8…

Найти b₂₁

b₁=1 q= b₂: b₁=2 b₂₁=2²⁰

Видите, какой большой ответ получился. Его невозможно было найти простым перебором.

Следующее задание решите самостоятельно.

Задание 5(самостоятельно) Слайд 19

Для геометрической прогрессии b₁=-2 q=10 найти b₅

Поднимите руку, у кого такой же ответ. Молодцы!

Задание 6 (дополнительно) Слайд 20-21

Отцвел ярко-желтый одуванчик. Сколько одуванчиков может вырасти через 10 лет от одного родительского растения, если один одуванчик дает 100 семян, и они все прорастут.

Ответ: на десятый год вырастет 1.000.000.000.000.000.000 (1 квинтильон) растений.

5. Подведение итогов урока

Что нового мы открыли на уроке?

Какую работу мы спланируем дальше?

Ученик: Не совсем, не все формулы изучили!

Открытие формулы суммы n— первых членов геометрической прогрессии мы произведем на следующем уроке, и уверяю вас, оно будет интересным.

Домашнее задание: Слайд 22

№ 623 (а,в), 625 (а,б), 627(а,б)

Долгосрочное задание (на 1 неделю) :

подготовить сообщение по теме

«Откуда к нам пришла прогрессия»

«Эти удивительные прогрессии»

«Прогрессии в нашей жизни»

«Старинные задачи на прогрессию»

«Практическое применение прогрессии»

Рефлексия

Вот и подошел к концу наш урок. Мне бы очень хотелось узнать: было ли вам интересно? Как вы поняли новый материал, что ,на ваш взгляд, было самым простым и самым сложным.

Для этого заполните, пожалуйста, таблицу:

Мне было интересно на уроке

Большое спасибо за урок! И помните, что

Человек, вооруженный знаниями способен решить любые задачи.

Числовая последовательность

Числовая последовательность

Мне было интересно на уроке