Хостинг документов » Конспект урока по Математике «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения» 8 класс

Конспект урока по Математике «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения» 8 класс

План-конспект

урока по математике в 8 классе

«Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения»

Составила учитель математике первой квалификационной категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов» Аминова Р.Ф.

2013 г.

Урок по теме

«Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»
Аминова Разина Файзеевна, учитель математики.

Ход урока

Тип урока: Урок открытия нового знания

Основные цели:

актуализировать изученные виды уравнений, тренировать вычислительные навыки;
Дать определение квадратного уравнения и показать его общий вид: ах² + bx + с = 0,

(а ≠ 0).

Рассмотреть методы решения неполных квадратных уравнений.
Организовать выполнения пробного действия и фиксацию затруднение в учебной деятельности (не успели, не могли, выполнили, но не могли доказать);
Предъявить индивидуальное задание для пробного действия(записи всех видов уравнений и решения);
Умение слушать и слышать других, умение вести диалог, толерантность
Тренировать мыслительные операции.

Мотивация к учебной деятельности.

Цель:

включение учащихся к учебную деятельность, тренировать в понимание значения уметь учиться;
определить содержательные рамки урока;
мотивация к учебной деятельности.

Организация учебного процесса на этапе 1:

Начинается урок математики. Проверьте готовность к уроку. Пожелайте друг другу успеха. Ребята, я желаю, чтобы ваша работа была успешной. Сегодня на уроке мы продолжим работать с понятием уравнение, вспомним с вами разложение многочлена на множители. Что нам следует сделать на уроке, чтобы узнать новое?

Прочитайте пословицу: «Новое умение везде найдет применение».

Как вы понимаете эти слова?

С чего мы начинаем каждый урок? (С повторения)

Актуализация знаний и фиксация затруднения в проблеме действий

Цель:

Актуализировать изученные виды уравнений, тренировать вычислительные навыки;
Мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;
Организовать выполнения пробного действия и фиксацию затруднение к учебной деятельности (не успели, не смогли, выполнили, но не могут доказать)

Организация учебного процесса на этапе 2:

Устно:

Вычислите:

, , , .

Разложите на множители:

х² – 3х;

х² + 25х;

4х² + 8х;

Что называется уравнением?

Что из записанного на доске является уравнением?

х² + 2х + 1 = 0;

2· 12 + 3·10 = 54;

х + 3 =10;

х² – 3х;

2 х = 10;

Что называется корнем уравнения?

Что значит «решить уравнение»?

Решить последние два уравнения. (Как находили корни в последних двух уравнениях? – перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; умножение (деление) обеих частей уравнения на число, не равное нулю).

Решить уравнение:

5 х = 20;

х + 5 = 11;

х – 4 = 0;

х² = 36;

х²= 0;

х² = 7;

х² = –10;

2х² = 50;

х ( х–1) = 0;

(х – 2)(х+3) = 0.

Выявления места и причины затруднения.

Цель:

Организовать восстановление выполненных операций и фиксацию, где возникли затруднения;
Организовать выявление и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных заданий, умений и способностей, которых не достает для решения исходной задачи такого класса или типа.

Организация учебного процесса на этапе 3:

В период военных учений в системе обороны дивизии было создано несколько командных пунктов, причём каждый из них имел линию связи с любым другим из числа оставшихся. Сколько командных пунктов организовано, если количество линий связи равно 45?

Начинаем рассуждать:
Давайте разберёмся, как вообще была построена система связи. Предположим, что командных пунктов было всего 4. Каждый из них имеет линию связи с любым другим из числа оставшихся. С какими пунктами имеет связь пункт №1, пункт №2, пункт №3, пункт №4? Значит, каждый из командных пунктов имеет по 3 линии связи, а всего пунктов 4. Сколько всего должно получиться линий связи? (3 ^. 4 = 12). Но связь, например, между пунктом №1 и пунктом №2 есть также связь между пунктом №2 и пунктом №1. Значит 12:2 = 6 – линий связи.
Теперь можно сделать общий вывод.
Пусть х – количество командных пунктов. Тогда линий связи у каждого из них ( х – 1). Количество линий связи будет равно х(х – 1) / 2 , что по условию задачи равно 45. Составим и решим уравнение х(х – 1)/2 = 45,
х(х – 1) = 90,
х² – х – 90 = 0.
Почему возникло затруднение? (У нас нет общего алгоритма записи и решения изученных видов уравнений) Умеем ли ребята решать такие уравнения?

Как вы думаете, как называется тема нашего урока?

Как называются такие уравнения?

Построение проекта выхода из затруднения

Цель:

В коммуникативной форме организовать построение учащимися проекта будущих учебных действий:

Уточнение цели проекта (создать алгоритм решения изученных видов уравнения);
Уточнить тему урока;
Определение средств (алгоритмы, модели, учебник и т.д.)
Построение плана достижения цели

Организация учебного процесса на этапе 4:

— Сформулируйте цель урока? (составить все виды уравнений и алгоритм решения изученных видов уравнений;

— Тогда тема сегодняшнего урока: (Решение уравнений 2-ой степени, квадратных уравнений)

Учитель фиксирует тему на доске.

— Что нам может помочь при достижении цели?

-По какому плану мы будем действовать?

1) Определим виды квадратных уравнений?

2) Сформулируем правило нахождения Х для разных видов уравнений;

3) Построим алгоритм решения уравнений.

План фиксируется на доске.

Реализация построенного проекта.

Цель:

организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний: алгоритма определения координаты объекта;
создать условия для построения алгоритма определения координаты объекта, фиксировать в речи, составить эталон решения, опорной схемы:
сформировать умение использовать открытые знания на практике;
организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе 5:
Посмотрите, вот определение квадратного уравнения. Прочитайте, что здесь написано. Как вы думаете, почему уравнение такого вида называется квадратным?
Оно также называется уравнением 2-ой степени.
Числа a, b и с тоже имеют свои названия. Их называют коэффициентами квадратного уравнения.
Дети записывают в тетради: а – первый коэффициент,
b- второй коэффициент,
c – свободный член.
Примеры:

Чему равно а, b и с?

9х² + 2х + 7 = 0,
х² + 2х + 3 = 0,
2х²— 7х + 2 = 0,
5х²+ х – 2 = 0,
х² – 3х – 1 = 0,
6х – 2х² – 5 = 0.

Историческая справка.
Теперь можно немного расслабиться и послушать о происхождении квадратных уравнений и о том, какие учёные занимались этой проблемой.

Сообщение первого ученика: «Квадратные уравнения в Индии»
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
Сообщение второго ученика: «Квадратные уравнения в древнем Вавилоне»
Необходимость решать квадратные уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать ещё около 2000 лет до н. э. В их клинописных текстах встречаются не только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Сообщение третьего ученика: «Квадратные уравнения в Европе».
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г итальянским математиком Леонардо Фибеначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники ХVI – XVII вв.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов было сформулировано в Европе лишь в 1544г М. Штифелем.
А теперь, после небольшого отдыха, продолжим изучение новой темы.

Если в квадратном уравнении ах² + bx + с = 0, хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают 3-х видов:
а) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

б) ах² + bx = 0, где b ≠ 0;

в) ах² = 0.

Д ля того чтобы их решить, что мы должны знать?

В ходе беседы с учениками, путем рассуждений, опираясь на имеющиеся знания и опыт решения уравнений первой степени, не используя учебник, учитель вместе с классом выводит алгоритм решения неполных квадратных уравнений на конкретных примерах. В ходе этой работы в тетрадях учеников появляется следующая запись, которой они будут пользоваться как опорой. Учитель вывешивает после всех обсуждений алгоритм решения неполных квадратных уравнений.

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

Уравнение вида ах² = 0.

Решается так: ах² = 0,

х² = 0,

( так как а ≠ 0 ),

х =0.

Уравнение вида ах² + вх = 0.

Решается так:

ах² + вх = 0,

х ( ах + в ) = 0,

х = 0 или ах + в = 0,

х = — в/а.

Уравнение вида ах² +с = 0.

Решается так:

ах² + с = 0,

ах² = — с,

х² = — с/а, так как а ≠ 0,

если — с/а < 0, корней нет;

если -с/а = 0, то х = 0;

если — с/а > 0, то х = ± √-с/а.

Решить уравнения:

а) 2х² + 8 = 0, б) 3х² — 2х = 0,

в) 7х² — 8 = 0, г) 6х² = 0.

Решение:

а) 2х² + 8 = 0 — Вид: ах² + с = 0;

2х² = — 8,

х² = -4.

Ответ: корней нет

б) 2х² — 3х = 0 – Вид: ах² + вх = 0;

х( 3х – 2) = 0,

х = 0 или 2х – 3 = 0,

х = 1,5.

Ответ: 0; 1,5.

в) 2х² — 8 = 0 – Вид: ах² + с = 0;

2х² = 8,

х² = 4,

х = ± 2.

Ответ: 2,-2.

г) 6х² = 0 – Вид: ах² = 0;

6х² =0,

х² = 0, х = 0 Ответ: 0.

Для того, чтобы узнать верно ли вы применили правило или верно ли выполнили действие, что нужно сделать? (проверку)

Учитель показывает последний шаг алгоритма. Сделать проверку (устно или письменно)

Что вы можете сказать о затруднении (Мы справились с ним)

Первичное закрепление во внешней речи.

Цель:

Зафиксировать новый способ действий во внешней речи, тренировать в применении, новых правил при выполнении задания.

Организация учебного процесса на этапе 6:

— Что теперь мы будем делать? (будем тренироваться в составлении квадратных уравнений и решение этих уравнений по алгоритму)

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель:

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися заданий на новые понятия;

Организовать самооценку правильность выполнения задания (при возможности –коррекцию возможных ошибок).

Организация учебного процесса на этапе 7:

—Какой следующий шаг необходимо сделать? (надо проверить свои знания)

Для самостоятельной работы предлагается

На выполнение задания отводится 3 минуты

-Проверьте себя по подробному образцу.

-Как вы выполнили задание?

-В чем причина допущенных ошибок?

Включение в систему знаний в повторение.

Цель: тренировать вычислительные навыки и уметь решать неполные квадратные уравнения.

Организация учебного процесса на этапе 8:

Решить уравнения:

1) 2х² + 8 = 0;

2) 2х² — 3х = 0;

3) 5х² -10 = 0;

4) х² = 0;

5) 3( х +1)² — 27 = 0.

Решить № 509 (а,в,д), № 510 (а,в,д), № 506 (а)

Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели:

зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
организовать рефлесивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований известных учащимся;
оценить собственную деятельность на уроке;
зафиксировать неразрешенные на уроке затруднения, если они есть;
обсудить и записать домашнее задание.