Занятие по элективному курсу в 10 классе
Тема: «Решение равнений с помощью свойств модуля» (90 минут)
Тип занятия: проблемный
Цели занятия:
организовать деятельность учащихся по применению определения, геометрической интерпретации, свойств модуля в стандартных и нестандартных ситуациях,
развитие у учащихся интеллектуальной, исследовательской, информационной, коммуникативной, рефлексивной культуры;
содействовать воспитанию внимания, настойчивости для достижения цели,
развитие познавательного интереса учащихся.
Оборудование:
плакат «Модуль»,
плакат с правилами работы в режиме «мозгового штурма»
Основные понятия:
модуль числа,
геометрическая интерпретация модуля,
свойства модуля,
график функции, выражение которой содержит знак модуля,
виды уравнений, содержащих знак модуля,
неравенство, содержащее знак модуля.
Ход урока
І. Оргмомент.
Приветствие. Позитивный настрой на занятие.
ІІ. Постановка цели урока и мотивация деятельности учащихся.
Данный этап учитель проводит совместно с учащимися, опираясь на их опыт по применению определения и свойств модуля на практике
ІІІ. Актуализация опорных знаний.
Блиц-опрос:
Раскройте модули в следующих выражениях:
|5-;|
|3-4|;
|-4|;
|x+1|.
Найти все значения переменной а, для которых справедливо равенство:
|a|=2;
|a|=-3;
|a|=a;
|a|=-a.
Найти все значения переменной а, для которых справедливо неравенство:
|a| ≤0;
|a|≥1;
|a|≤3;
|a-2|≤3;
|a-1|>1;
1<|a|<2.
Одну и ту же или разные функции задают формулы:
а) f(x)= и g(x)= x;
б) f(x)= и g(x)= |x+3|?
Ответ: а) разные, б) одну и ту же.
Среди графиков определить графики функций или линии равенств, не являющихся функциями:
у=|4-x|,
у=4-|x|,
|у|=|4-x|,
| 1
2
3 4
Ответ: a-1,b-2,c-4,d-3
Придумайте уравнение или неравенство с модулем, множеством решения которого было бы числовое множество:
-4,4;
(-7;7);
1;9;
[-1;5];
(-∞:-6] U[10;+ ∞].
ІV. «Мозговой штурм»
1 этап – организационный. Применение знаний в стандартной ситуации:
Учитель предлагает нескольким учащимся одновременно решить следующие уравнения с модулем с учетом способностей и подготовленности учащихся:
|x-2|=3,
|x|+x=2,
||x|+2|=1,
|x-3|=-1,
|x-5|+|x+2|=1,
|x-3|+|x-4|=1
Создание проблемной ситуации
Можно ли по виду уравнения |x—a|+|x—b|=c, где c≥0, определить количество корней данного уравнения? Как должны быть связаны в таком случае между собой коэффициенты a, b, c?
Учитель показывает значимость данной проблемы в контексте учебного предмета. Далее происходит формирование малых групп, объясняются правила работы в режиме «мозгового штурма»:
Исключить всякие проявления критики и осуждения.
Поощряйте самые нелепые мысли и необычные ассоциации.
Стремитесь к максимальному количеству идей, не забывая записывать каждую.
Используйте и развивайте чужие идеи.
Воздерживайтесь от любых окончательных оценок.
2 этап разминочный Работа в группах. Поначалу ситуация коллективной творческой работы может вызвать у учащихся скованность и растерянность, поэтому задача данного этапа – помочь учащимся освободиться от психологических барьеров и подготовить «материал» для дальнейшего исследования.
I группа решает уравнения:
|x-2| + |x-3|=5;
|x-2| + |x+4|=7;
|x-6| + |x-1|=6.
Ответы:
0;5;
-4,5; 2,5;
0,5; 6,5.
II группа:
|x-2| + |x-3|=1;
|x-2| + |x+4|=6;
|x-6| + |x-1|=5.
Ответы:
[2;3];
[-4;2];
[1;6].
III группа:
|x-2| + |x-3|=0;
|x-2| + |x+4|=1;
|x-6| + |x-1|=4.
Ответы:
нет решения;
нет решения;
нет решения.
3 этап – «мозговой штурм». Работа в группах.
Это – этап непосредственной генерации идей по обсуждаемой проблеме. Внимание учащихся акцентируется на требовании неукоснительного выполнения правил работы, запись которых представлена на отдельном стенде, так же как и формулировка обсуждаемой проблемы. Работа начинается одновременно по команде педагога, который следит за выполнением регламента. Время ограничено – 15 мин.
4 этап – рейтинг предложений.
Ребята предлагают свои варианты ответов. Учитель фиксирует их на доске. Проводится ранжирование предложений.
5 этап – резюме.
Из всех предложений соответствуют истине следующие:
При |a—b|<c уравнение |x—a|+|x—b|=c, где c≥0, имеет два действительных корня, причем эти корни находятся вне промежутка [a;b].
При |a—b|=c уравнение |x—a|+|x—b|=c, где c≥0, имеет бесконечное множество корней, причем решением является промежуток [a;b].
При |a—b|>c уравнение |x—a|+|x—b|=c, где c≥0, не имеет корней.
Замечание. Эффективность метода «мозгового штурма» зависит от возможностей педагога заражать учащихся оптимизмом, уверенностью в успехе, умении поддерживать доброжелательную и непринужденную обстановку.
V. Контроль за знаниями учащихся. Тест.
Нормы оценок
«4» | «5» | ||||
Осн. Часть | Доп.часть | Осн. Часть | Доп.часть | Осн. Часть | Доп.часть |
2 задания | _ | 2 задания | 1 задание | 2 задания | 2 задания |
Вариант 1
Основная часть
Раскройте модули в следующем выражении |-3|
-3
3-
—-3
+3
Решите уравнение |x-5|=3
Нет решения
8
2; 8
-2; 8
Сколько решений имеют следующие уравнения (уравнения вида |x—a|+|x—b|=c):
|x+1|+|x-1|=2, |x-5|+|x-4|=7, |x-8|+|x+1|=6 ?
Нет решения, бесконечное множество решений в виде промежутка [a;b] , два корня
Нет решения, два корня, бесконечное множество решений в виде промежутка [a;b]
Бесконечное множество решений в виде промежутка [a;b], нет решения, два корня
Бесконечное множество решений в виде промежутка [a;b], два корня, нет решения
Дополнительная часть
Решите уравнение |x+5|=|10+x|
-5;-10
-7,5
-7,5; 0
Нет решения
Решите уравнение |x+3|+|x-1|=5
-3,5; 1,5
Нет решения
[-3;1]
-3,5; 0,5
Решите уравнение +=3
3;-3
-2;1
Нет решения
[-2;1]
Коды правильных ответов:
Основная часть: b,c,d
Дополнительная часть: b,a,d
Учащиеся имеют возможность оценить себя самостоятельно и сравнить свою оценку с оценкой учителя, который и поставит окончательную отметку.
VІ. Информация о домашнем задании.
Учитель предлагает учащимся написать в дидактическую копилку «Мои задания и решения» 3-5 задания с модулем.
VІІ. Рефлексия.
Что нового для себя узнали?
Какой новый опыт приобрели и чему научились?
В чем затруднялись и как выходили из данной ситуации?
Какую проблему решали на уроке? Удалось ли нам её решить?
К какому выводу мы пришли?
Попробуйте оценить свою работу.
VІІІ. Итог занятия подводит учитель.
МОДУЛЬ
(М.И.Башмаков)
М1
Модуль – это расстояние
М(х)
| у=|x| У
О Х
|x|=2
-2 2
|x|=2 x=±2
Свойства:
Для любого значения х:
|x| ≥0
|x| ≥x
|x| ≥-x
|x|2 =x2
=|x|
|x|=|-x||
x при x≥0
|x|=
—x при x <0
x—x1 при x≥x1
|x—x1|=
x1—x при x <x1
|x|<2
-2 2
|x|<2 -2<x<2
____________________
Для любых значений a,b:
|ab|=|a| |b|
, b≠0
|a+b|≥|a|- |b|
|a-b|≥||a|-|b||
|a+b|≤|a|+|b|
М/
М
О х x-x1 Х
У
у=|x—x1|
x1
О Х
|x|>2
-2 2
|x|>2 x<-2 или x>2
____________________
3a) |a+b|=|a|+|b| при ab≥0
3b) |a+b|<|a|+|b| при ab<0
5a) |a-b|=|a|-|b| при
(a-b)b≥0
5b) |a-b|>|a|-|b| при
(a-b)b<0