Хостинг документов » Конспект урока по Математике «Решение тригонометрических уравнений» 11 класс

Конспект урока по Математике «Решение тригонометрических уравнений» 11 класс

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Лозовская средняя общеобразовательная школа Верхнемамонского муниципального района Воронежской области»

Открытый урок на тему:

(Элективный курс «Избранные вопросы математики»)

Подготовила и провела

в 11 классе

учитель математики

Волобуева М.В.

2015г.

Цели урока:

Обучающие:
- обобщение и систематизация знаний и способов действий;
- проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий;
- обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;
- повторить основные теоретические сведения по тригонометрии;
- повторить формулы тригонометрии, методы преобразования выражений;
- рассмотреть примеры заданий С1 ЕГЭ.
Развивающие:
- развитие самостоятельности, внимательности;
- формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;
- развитие умения аргументировано участвовать в обсуждении решений;
- развитие наглядно-действенного творческого воображения;
Воспитательные:
- формирование культуры математической речи;
- содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности;
- воспитание коммуникативной и информативной культуры учащихся.

Тип урока: урок-практикум.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Методы обучения:

частично-поисковый,
тестовая проверка уровня знаний,
системные обобщения,
самопроверка,
самооценка,
самоконтроль,
работа по опорным схемам.

Оборудование:

интерактивная доска,
мультимедийный проектор,
компьютер,
бланки для записи ответов,
таблицы,
блоки тригонометрических уравнений.

К уроку подготовлена презентация. С ее помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала, рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Структура урока:

Организационный момент. (1-2 мин.)
Первичное повторение знаний и умений на уровне воспроизведения. (10-12 мин.)
Динамическая пауза. (1-2 мин.)
Систематизация и обобщение знаний и умений при выполнении заданий. (25-30 мин.)
Подведение итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению. (3-5 мин.)

Ход урока:

Какое слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»?
(Тригонометрия)

«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий,
и путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций

Сегодня от вас потребуется: и умение размышлять (при выполнении каждого задания), и умение подражать (точное знание формул и их применение), и опыт (навык преобразования тригонометрических выражений). И я надеюсь, что все эти пути действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно сдать ЕГЭ и продолжить свое образование в Вузах.

Тема нашего урока «Решение тригонометрических уравнений».

Сегодня мы повторим формулы, вспомним способы решения тригонометрических уравнений и разберем часть примеров из открытого банка заданий ЕГЭ.

И ещё: именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая производила анализ ошибок по ЕГЭ.

Итак, начнем с устной разминки:

1 задание

Какие основные тригонометрические функции вы знаете?

Иоганн БЕРНУЛЛИ – швейцарский математик, который впервые ввел современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos в 1739 г. в письме к петербургскому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер пришел к выводу, что эти обозначения очень удобны, и стал употреблять их в своих математических работах.

Основное тригонометрическое тождество
Sin, tg, Cos, Sinπ
Восстановите формулы

Sin2α


	2Cos²α — 1
Cos (π — α)
	1 + tg²α
tgα·ctgα
	1 — Сos²α

Применим данные формулы для решения заданий типа В3 и В7 из открытого банка заданий ЕГЭ

(самостоятельно с последующим обсуждением и проверкой)

2 задание

Найдите значение выражения:

$frac{36sin102^circcdot cos 102^circ}{sin204^circ}.$
$frac{29({{sin }^{2}}{30}^circ -{{cos }^{2}}{30}^circ )}{cos {60}^circ }$
$4sqrt{3} g frac{pi }{4}sin frac{pi }{3}$
$frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$
$15sqrt{2}sin (315{}^circ )$

3 задание

А теперь нам предстоит вспомнить формулы для решения тригонометрических уравнений, а также частные случаи:

Основной прием решения любого уравнения — это приведение его к равносильному, более простому уравнению. Решение произвольных тригонометрических уравнения сводится к решению простейших уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg х= a. При переходе от одного уравнения к другому пользуются общими методами решения уравнений и формулами тождественных преобразований тригонометрических выражений. Сегодня на уроке необходимо рассмотреть на примерах применение основных методов к решению тригонометрических уравнений.

4 задание

Найти ошибки в решениях тригонометрических уравнений:

(±) (-1^k)

_(π_k₎ _(π_k₎

5 задание

Решение уравнений с взаимопроверкой:

1. sin x = 0

2. cos x = -1

3. cos 3x = —/2

4. sin 0,5x = 1

5.tg 4х =

После истечения времени ученики меняются тетрадями и проверяют работу соседа. При оценке работы учитывается не только правильность выполнения работы, но и количество выполненных заданий.

Ответ:

1. х =πк, кЄZ

2. х =π + 2πк, кЄZ

3. х = +2π/9 + 2πк/3, кЄZ

4. х = π + 4πк, кЄZ

5. х = π/16 + πк/4, кЄZ

Динамическая пауза.

Самомассаж (по системе М.С. Норбекова)

Аутомануальный комплекс (массаж)

Разогреть ладони энергичным потиранием. Указательными пальцами осуществлять вкручивающие движения по часовой и против часовой стрелке – 6-8 раз в каждую сторону.
• Точка на лбу между бровями.
• По краям крыльев носа.
• В среднюю линию между нижней губой и верхним краем подбородка.
• В височной ямке (парные).
• Чуть выше роста волос под основанием черепа.

Массаж ушных раковин

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Потягивание ушных раковин сверху вниз.
• Потягивание ушных раковин снизу вверх.
• Потягивание ушных раковин назад.
• • Потягивание ушных раковин в стороны.
• Круговые движения по часовой стрелке.
• Круговые движения против часовой стрелке.
Разогреть ушные раковины, чтобы они «горели» с умеренной силой.

Гимнастика для глаз

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Движение глаз по горизонтальной линии вправо-влево.
• Движение глаз по вертикальной линии вверх-вниз.
• Круговые движения открытыми глазами по часовой и против часовой стрелке.
• Сведение глаз к переносице, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз к кончику носа, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз ко лбу, затем смотреть в даль.
• Упражнение на аккомодацию.
• Положить ладони на закрытые глаза, сделать резкий глубокий вдох через нос, затем выполняем медленный выдох через рот, через 20-30 секунд убираем ладони и открываем глаза.

Упражнения для шейного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Скольжение подбородком по грудине вниз.
• «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад.
• Наклоны головы вправо-влево.
• «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.
• «Сова»: поворот головы вправо-влево.
• «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону.

Упражнения для верхнего грудного отдела позвоночника

Каждое упражнение выполняем 6 – 8 раз.
• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад, голову назад.
• «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.
• Поднимание и опускание плеч вверх и вниз.
• Круговые движения плечами вперёд и назад.
• «Пружина»: вытягивание позвоночника, сжимание позвоночника.
• Скрутка позвоночника: поворот плеч вправо-влево

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Если вы знаете свойства тригонометрических функций, их значения, формулы тригонометрии, то с решением не будет никаких трудностей.

Решение более сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Какие методы преобразования вам известны?

Решение уравнений методом разложения на множители.
Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод.
Решение однородных уравнений первой и второй степени. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах.

1) Решить уравнение: 2 sin x · cos 5x – cos 5x = 0.

Решение:

сos5 x (2sin x – 1) = 0 ,

1) sin x = 1/2 , 2) cos 5x = 0 ,

х = (-1)^kπ/6 +πk, k Є Z. х = π/10 + πn/5, nЄZ

2) Решить уравнение: 2 cos²x + 3 sin x = 0.
Решение:

т. к. cos²x = 1 — sin²x,

2(1 — sin²x) — 3 sin x = 0,

2 sin²x — 3 sin x — 2 = 0.
sin x = t, t = -1/2, t = 2

sin x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет

х = (-1)^k arcsin(-1/2)+πk

x = (-1)^k+1π/6 +πk, k Є Z.

3) Решение однородных уравнений первой и второй степени.

Однородными называются уравнения вида a·sinx+b·cosx = 0 — первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx = 0 — второй степени и т.д., где a, b, c — числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx.

Решить уравнение: sin x — cos x = 0.

Решение: sin x — cos x = 0, разделим обе части уравнения на cos x

tg x — = 0

tg x =

х = π/3 + πn, nЄZ

Выберите среди данных уравнений однородное

уравнение первой степени и решите его:

сos x – sin 3x = 0; 2) cos x – 3sin x = 0;

3) cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.

cos x – 3sin x = 0 Ответ: arctg + πn, nZ

1 уровень

Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1.8 cos²x – 6 cos x – 5 = 0.

2. sin²x + sinx = 0.
3. sinx – cosx = 0.

4. sinx + cosx = .

2 уровень

Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений.

На этом основаны решения заданий ЕГЭ типа С1

а)

б)

Подведем итог урока.

Мне хочется еще раз обратиться к словам Конфуция. Сегодня нам пришлось и размышлять, и подражать, и применять свой опыт при преобразовании тригонометрических выражений. И все эти пути, действительно, ведут к новым знаниям.

Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения.

Решите уравнения:

5sin²x + 6cosx — 6 = 0
2tg²x + 3tgx — 2 = 0
4sin²x — 1 = 0
cos²x + cosx·sinx = 0
tg x + 3 = 3/cos²x
sin2x + sin²x = 4cos²x

Вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?

Хочется закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Свежие документы: Рабочая программа, 10 класс