Статья «Школьные олимпиады по математике»

МКОУ Бугаевская СОШ Кантемировского района, Воронежской области

Статья на тему:

«Школьные олимпиады

по математике»

Учитель математики:

Суходолова Ольга Васильевна

2013 г.

Математические олимпиады школьников являются одной из важных форм внеклассной работы по предмету. Они не только помогают выявить одаренных, способных учащихся, но и стимулируют углубленное изучение предмета, служат развитию интереса к математической науке. Кроме того, олимпиады способствуют созданию необходимых условий для поддержки одаренных, способных детей.

Олимпиада – это, прежде всего интеллектуальные соревнования способных учащихся. Данное определение достаточно точно отражает их суть.

Школьные математические конкурсы, олимпиады представляют собой массовые соревнования, поскольку они охватывают учеников не одного класса.

Интеллектуальные соревнования в школе проводятся несколько раз в год с целью повышения интереса учеников к математике, расширения их мировоззрения, выявления наиболее способных учеников, подведения итогов работы математических кружков или клуба юных математиков, повышение общего уровня преподавания математики.

Основными целями и задачами предметных олимпиад являются:                                 

— пропаганда научных знаний и развитие у обучающихся интереса к научной деятельности;

— создание необходимых условий для выявления одаренных детей 

— организация работы факультативных занятий, кружков

Одной из важных целей проведения олимпиад является разви­тие интереса учащихся к изучаемым предметам, привлечение уча­щихся к занятиям внеурочной деятельности. У учащихся имеется большое желание проверить свои силы, способности, умение ре­шать нестандартные задачи. Их привлекает возможность добро­вольного участия в соревновании, необычность всей обстановки на конкурсе, олимпиаде.

Олимпиады дают уникальный шанс добиться признания не только в семье и в учительской среде, но и у одноклассников.

Для тех школьников, которые впервые сталкиваются с более интересными, чем задания из учебника, задачами, участие в олимпиаде, конкурсе — первый шаг к научной деятельности. Особенно это важно для школьников, живущих вдали от крупных городов. Следовательно, математические конкурсы, олимпиады содействуют научно — техническому прогрессу.

Привлекательными являются условия нестандартных задач, предлагаемых на олимпиадах, заметно отличающиеся от обязательных, при изучении школьного материала заданий, направленных на отработку выполнения стандартных алгоритмов.

Первые олимпиадные успехи важны для самооценки учащегося, а также изменения отношения к нему учителей, возможно недооценивавших его способности. Нередки случаи, когда способный и даже талантливый обучающийся не успевает за отведенное на уроке время выполнить все задания из контрольной работы по изучаемой теме.

Важно помнить, что:

1. Олимпиады не должны мешать планомерному учебному процессу.

2. Олимпиады должны выявлять толковых детей, а не учеников, умудренных опытом преподавателей.

3. Нежелательно форсировать прохождение тем. Нужно дать возможность знаниям хоть немного «устояться». Тем самым одновременно обеспечивается минимальный запас времени для выравнивания пройденного материала.

4. В среднем, задания должны устраивать и тех, кто вынужден работать по новым программам и тех, кто работает по старым программам. В современных условиях невозможно предложить программу олимпиад, устраивающую всех.

В олимпиаде имеет право принимать участие каждый обучающийся, в том числе вне зависимости от его успеваемости по предмету.

Продолжительность олимпиады должна учитывать возрастные особенности учеников, а также трудность предлагаемых заданий.

Рекомендуемое время проведения олимпиады: для 5-6-х классов – 2 урока, для 7-8-х классов – 3 урока, для 9-11-х классов –3-4 урока.

ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНИЙ

Задания школьного этапа олимпиады должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Задания не должны носить характер контрольной работы по различным разделам школьной математики. Недопустимо составление заданий на основе стандартного материала, изучаемого на уроках.

2. Задания не могут включать задачи, требующие знаний, выходящих за рамки программы основной школы по математике, изученных на момент проведения Олимпиады по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии (олимпиада не должна быть соревнованием на эрудицию и знание разделов математики, выходящих за рамки школьной программы).

3. Задания олимпиады должны быть различной сложности для того, чтобы, с одной стороны, предоставить практически каждому ее участнику возможность выполнить наиболее простые из них, с другой стороны,

достичь одной из основных целей олимпиады – определения наиболее способных учащихся. Наиболее удачным является комплект заданий, при котором с первым заданием успешно справляются не менее 70% участников, со вторым – более 50%, с третьим –20%-30%, а с последними – лучшие из участников олимпиады.

4. В задания должны включаться задачи, имеющие привлекательную, запоминающуюся форму, формулировки должны быть четкими и понятными.

5. Вариант по каждому классу должен включать в себя 4-6 задач. Тематика заданий должна быть разнообразной, по возможности охватывающей все разделы школьной математики: арифметику, алгебру, геометрию. Варианты также должны включать в себя задачи на четность (в среднем звене школы), комбинаторику.

6. Задания олимпиады не должны составляться на основе одного источника (литература, Интернет), с целью уменьшения риска знакомства одного или нескольких ее участников со всеми задачами, включенными в вариант. Желательно использование источников, малодоступных для участников Олимпиады, либо включение в варианты новых задач.

7. Включение в задания для учащихся 5-6 классов, впервые участвующих в олимпиадах, задач, не требующих сложных математических рассуждений, либо использование одной такой задачи на последней позиции.

Олимпиада по математике.

7 класс.

1. Что больше: 1234567·1234569 или 1234568² ?

2. Магазин продал одному покупателю 25% полотна, второму – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось?

3. Учитель математики, проверив контрольные работы у трех друзей: Алексея, Бориса и Василия, сказал им: «Все вы написали работу, причем получили разные отметки («3», «4», 5»). У Василия — не «5», у Бориса — не «4», а у Алексея, по моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель ошибся: одному ученику сказал отметку верно, а другим двум неверно. Какие отметки получил каждый из учеников?

4. Дворец имеет форму прямоугольника размером 13х15. Каждая клетка, кроме центральной, — комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, есть дверь. Можно ли, не выходя из дворца и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

5. Дан угол в 13°. Как получить угол в 11°?

Решения и ответы:

1. 1234568² > 1234567·1234569

1234567·1234569= (1234568-1)·(1234568+1)= 1234568²-1²

1234568² > 1234568²-1²

2. 31,5%.

Пусть было 100% полотна.

После первой продажи осталось 100-25=75% полотна. После второй 100-30=70% остатка, а после третьей 100-40=60% нового остатка. Значит, осталось 100·0,75·0,7·0,6=0,315=31,5%.

3. Алексей получил «5», Борис – «4», Василий – «3».

Рассмотрим три случая.

1 случай. Пусть учитель сказал верно Алексею. Значит, у Алексея – «4». Т.к. Борису и Василию учитель назвал неверные отметки, то у Бориса – «4», а у Василия – «5». Получилось, что у двух учеников оказались одинаковые отметки, что противоречит условию задачи. Данный случай невозможен.

2 случай. Пусть учитель сказал верно Василию. Тогда у Василия отметка – не «5». Т.к. учитель сказал неверно об отметках Алексея и Бориса, то у Алексея отметка не «4», а у Бориса – «4». Тогда у Алексея – «5», у Василия – «3».

3 случай. Пусть учитель сказал верно Борису. Тогда Борис получил не «4». Т.к. утверждения про отметки Алексея и Василия ложные, то у Алексея – не «4», у Василия – «5». Получается, что отметку «4» никто не получил. Этот случай тоже противоречит условию задачи.

4. Нельзя.

Раскрасим прямоугольник в шахматном порядке так, чтобы центральная клетка была черная. При этом клеток черного цвета будет на 1 меньше, чем белых клеток. В центральной клетке находится бассейн, поэтому черных комнат на 2 меньше, чем белых. При переходе через дверь мы попадаем в комнату другого цвета, т.е. цвет комнат чередуется. Поэтому разность между количеством пройденных комнат разного цвета не более одного (т.к. путь распадается на пары клеток разного цвета, исключая, может быть, последнюю). Значит, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу, нельзя.

5. Отложить 13 раз угол по 13°, получим угол 169°. Тогда разность развернутого угла и 169° даст искомый угол: 180°-169°=11°.

Олимпиада по математике.

8 класс.

1. Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена этого товара?

2. На какую цифру оканчивается число З²⁰⁰⁴ + 4²⁰⁰⁵?

3. Аня младше Вани. Когда Ване было столько лет, сколько Ане сейчас, их матери было на 3 года меньше, чем Ане с Ваней теперь. Сколько лет было Ване, когда матери было столько лет, сколько Ване теперь?

4. Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пяти­конечной звезды.

Ответы и решения:

1. Увеличилась на 32%.

Новая цена равна 1,1·1,2=1,32 от старой цены. Увеличение цены составит (1,32-1)·100%=32%.

2. На цифру 5.

Найдем последнюю цифру Зⁿ при различных значениях n: 1;2;3;4;5;6… Замечаем зависимость: через 4 числа последняя цифра повторяется (3;9;7;1;3;9…).Т.к. 2004=501·4+0, то число З²⁰⁰⁴ оканчивается такой же цифрой, что и З⁴ ,то есть 1. Рассматривая различные степени числа 4, получаем зависимость: если показатель степени четный, то число оканчивается цифрой 6, если нечетный – цифрой 4. Значит, число 4²⁰⁰⁵ оканчивается цифрой 4. Следовательно, число З²⁰⁰⁴ + 4²⁰⁰⁵оканчивается на цифру 5.

3. 3 года.

Пусть Ане сейчас а лет, Ване – b лет, маме – с лет. Ване было а лет, т.е. столько, сколько сейчас Ане, (b-а) лет назад. Маме тогда было с-(b-а)=с-b+а, и это число равно а+b-3. Значит, с=2b-3. Маме было b лет, т.е. столько, сколько Ване теперь, (с-b) лет назад, но Ване тогда было

b-с+b=2b-с=3. Итак, Ване было 3 года.

4. На рис. 1: 7= 1+ 3, 6= 2+ 5 (по теореме о свойстве внешнего угла треугольника). Тогда 1+ 2+ 3+ 4+ 5= 7+ 6+ 4=180°.

Рис.1

Олимпиада по математике.

9 класс.

1. Найдите значение выражения:

(1+ при а=2008.

2. Из Астрахани в Москву везли 80 т персиков, которые содержали 99% воды. По дороге они усохли и стали содержать 98% воды. Сколько тонн персиков привезли в Москву?

3. В комнате собрались 8 человек. Некоторые из них лгут, а остальные – честные люди, всегда говорящие правду. Один из собравшихся сказал: «Здесь нет ни одного честного человека». Второй сказал: «Здесь не больше одного честного человека». Третий сказал: «Здесь не более двух честных людей» и т.д. до восьмого, который сказал: «Здесь не более семи честных людей». Сколько в комнате честных людей? Ответ обоснуйте.

4. У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?

5. Постройте ромб, в котором высота равна 5 см, а одна из диагоналей 6 см.

Ответы и решения:

1. – 2007.

Применяя формулу последовательно для последних двух множителей, в результате получаем:

)=1-a.

При а =2008, 1-а=-2007.

2. 40т

В Астрахани в персиках содержался 1%,т.е. 8 т «сухого остатка», в Москве эти 8 т составляли уже 2% от привезенных персиков. Тогда вес персиков 8:2·100=40 т.

3. 4 человека.

Начнем рассуждения с высказывания восьмого человека: «Здесь не больше 7 честных людей». Если восьмой – честный, то все хорошо. Если он лжет, то в комнате 8 честных людей, что противоречит тому, что восьмой – лжец. Значит, восьмой не может лгать, он-честный. Первый сказал, что в комнате нет честных людей. Но восьмой – честный, поэтому – первый солгал. Рассматривая высказывание седьмого человека, получим, что он не может быть лжецом. Иначе в комнате должно быть 7 или 8 честных людей. Но первый – лжец. Поэтому седьмой – честный. Рассуждая далее аналогично, получим, что второй, третий и четвертый будут лжецами, а шестой и пятый – честными. Тогда в комнате будет 4 честных человека.

4. 2 года и 4 года.

Пусть одному сыну n лет, а другому m лет. Тогда

mn+m+n=14,

.

Поскольку m – натуральное число, а 15=5·3·1, то: а) либо n+1=5; б)либо n+1=3; в)либо n+1=1. В случае: а) n=4, тогда m=2; в случае б)n=2, тогда m=4; в случае в)n=0, чего не может быть, т.к. n – натуральное число. Следовательно, одному сыну 2 года, а другому 4 года.

5. Построим прямой угол FEK. Затем на луче ЕF отложим отрезок ЕВ=5 см. Проведем окружность с центром в точке В и радиусом 6 см, а точку пересечения этой окружности со стороной ЕК обозначим через D. Проведем серединный перпендикуляр к отрезку ВD и прямую ВL, параллельную прямой ЕD. Точку пересечения данной прямой и серединного перпендикуляра обозначим за С, а точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой ЕD обозначим за А. АВСD – искомый ромб.

Литература:

6. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 5-8 класс. Часть 1/Под ред.Лысенко Ф.Ф. – Ростов – на –Дону: Легион;Легион – М,2010

7. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 6-9 класс. Часть 2/Под ред.Лысенко Ф.Ф. – Ростов – на –Дону: Легион;Легион – М,2010

8. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи – М.:Дрофа,2006

9. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы – М.: Айрис-пресс,2007

10. Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы– М.:Айрис-пресс,2006

11. «Методические рекомендации по проведению школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2013-2014 учебном году.» Н. Х.астахов, О. К. Подплинский.

12. «ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА» https://do.gendocs.ru/docs/index-312809.html

13. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. — М.: Просвещение, 1985